Comment ça marche ?
L’élimination de Gauss annule les coefficients sous chaque pivot ; les multiplicateurs utilisés forment L et la matrice obtenue est U. Quand un pivot est nul, la ligne est échangée avec une ligne inférieure, ce que note P.
En fractions exactes, aucun pivotage partiel n’est nécessaire pour la précision. Le déterminant se lit sur la diagonale de U ; voyez aussi le déterminant.
Exemple de calcul
A = (2 −1 0 ; 1 3 2 ; 0 1 4) : L = (1 0 0 ; 1/2 1 0 ; 0 2/7 1), U = (2 −1 0 ; 0 7/2 2 ; 0 0 24/7), sans permutation ; det(A) = 2 × 7/2 × 24/7 = 24.
Questions fréquentes
À quoi sert la décomposition LU ?
À résoudre A x = b pour plusieurs seconds membres : on résout L y = P b puis U x = y.
Et si la matrice est singulière ?
La factorisation existe encore, avec un zéro sur la diagonale de U.
Pourquoi P ?
Si un pivot est nul, on échange des lignes ; P garde la trace de ces échanges.
Calculatrices associées
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Méthodologie
P A = L U ; Lᵢₖ = multiplicateur de l’élimination ; det(A) = (−1)^échanges × Π Uᵢᵢ.
Résultats indicatifs, fournis sans garantie. Ils ne remplacent pas l’avis d’un professionnel.