Matrices & algèbre linéaire
Opérations, déterminant, inverse et décompositions.
25 calculatrices
- Addition et soustraction de matricesLa somme ou la différence de deux matrices de même taille.
- Multiplication de matricesLe produit de deux matrices compatibles.
- Déterminant d’une matriceLe déterminant exact d’une matrice carrée jusqu’à 8 × 8.
- Inverse d’une matriceL’inverse exacte d’une matrice carrée, en fractions.
- Transposée d’une matriceLa transposée d’une matrice : les lignes deviennent des colonnes.
- Rang d’une matriceLe rang exact d’une matrice, par élimination de Gauss.
- Trace d’une matriceLa trace d’une matrice carrée : la somme de sa diagonale.
- Forme échelonnée réduite (RREF)La forme échelonnée réduite exacte d’une matrice.
- Multiplication d’une matrice par un scalaireMultipliez chaque élément d’une matrice par un nombre.
- Puissance d’une matriceAⁿ pour une matrice carrée, exposant entier (négatif si inversible).
- Règle de CramerRésolvez un système linéaire n × n par les déterminants.
- Comatrice et matrice adjointe (cofacteurs)Comatrice (matrice des cofacteurs) et matrice adjointe d’une matrice carrée en fractions exactes, avec le déterminant et l’inverse qui en découle.
- Décomposition LU d’une matriceFactorisation P A = L U d’une matrice carrée en fractions exactes : matrice de permutation, triangulaire inférieure et supérieure.
- Noyau d’une matrice (espace nul)Base du noyau d’une matrice (solutions de A x = 0) en fractions exactes, avec la forme échelonnée réduite et les variables libres.
- Espace colonne (image) d’une matriceRang, colonnes pivots et base de l’espace colonne (image) d’une matrice, prise dans les colonnes de la matrice d’origine.
- Polynôme caractéristique d’une matricePolynôme caractéristique det(A − λI) d’une matrice carrée en coefficients exacts, avec ses racines rationnelles.
- Produit de Hadamard (terme à terme)Produit de Hadamard de deux matrices de même taille : chaque coefficient est le produit des coefficients de même position.
- Produit tensoriel (produit de Kronecker)Produit de Kronecker A ⊗ B de deux matrices en fractions exactes : chaque coefficient de A multiplie toute la matrice B.
- Orthogonalisation de Gram-SchmidtBase orthogonale exacte et base orthonormée d’une famille de vecteurs par le procédé de Gram-Schmidt, avec détection des vecteurs dépendants.
- Valeurs propres et vecteurs propresValeurs propres (réelles ou complexes) et vecteurs propres normés d’une matrice carrée, chacun vérifié par A v = λ v.
- Diagonalisation d’une matriceIndique si une matrice est diagonalisable dans ℝ et donne P, D et P⁻¹ avec la vérification A = P D P⁻¹.
- Décomposition en valeurs singulières (SVD)Décomposition A = U Σ Vᵀ d’une matrice quelconque : valeurs singulières, vecteurs singuliers, rang numérique et vérification.
- Pseudo-inverse de Moore-PenrosePseudo-inverse A⁺ de Moore-Penrose d’une matrice quelconque (rectangulaire ou singulière), calculée par SVD et vérifiée par les quatre conditions de Penrose.
- Norme d’une matriceNormes d’une matrice : Frobenius, norme 1 (colonnes), norme infinie (lignes) et norme 2 (spectrale, plus grande valeur singulière).
- Nombre de condition (conditionnement) d’une matriceConditionnement d’une matrice carrée en norme 2, 1 et infinie, et nombre approximatif de chiffres significatifs perdus lors d’une résolution.