Comment ça marche ?
D contient les valeurs propres, P les vecteurs propres en colonnes. La matrice est déclarée diagonalisable seulement si P est inversible et si P D P⁻¹ redonne A à la précision numérique ; sinon le calcul l’indique au lieu d’afficher une fausse décomposition. Les résultats sont numériques (double précision) et vérifiés avant affichage ; la précision obtenue est indiquée.
Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable. Pour les puissances, voyez la puissance d’une matrice.
Exemple de calcul
A = (4 1 ; 2 3) : D = diag(5 ; 2) et A = P D P⁻¹. La matrice (1 1 ; 0 1) n’est pas diagonalisable : une valeur propre double pour un seul vecteur propre.
Questions fréquentes
Pourquoi « non diagonalisable » ?
Soit des valeurs propres complexes (pas dans ℝ), soit une valeur propre multiple sans assez de vecteurs propres.
À quoi sert la diagonalisation ?
À calculer facilement Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹ et à étudier des systèmes dynamiques.
Résultat exact ?
Non, numérique ; l’écart de vérification est affiché.
Calculatrices associées
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Méthodologie
A = P D P⁻¹ avec D = diag(λ₁ … λₙ), P = (v₁ … vₙ) ; acceptation si cond(P) raisonnable et ‖A − P D P⁻¹‖ ÷ ‖A‖ très petit.
Résultats indicatifs, fournis sans garantie. Ils ne remplacent pas l’avis d’un professionnel.